Knowunity AI

Više

Karijera

Program za kreatore

Otvori aplikaciju

Predmeti

15

•

Ažurirano Apr 28, 2026

•

5 stranice

漸化式の解き方と数学的帰納法の活用

数列の中でも特に応用力が求められる「漸化式と数学的帰納法」について学んでいこう。漸化式は隣り合う項の関係から一般項を求める手法で、数学的帰納法は自然数に関する命題を証明する強力な道具だ。この2つは共通テストでもよく出題されるから、基本パターンをしっかりマスターしておこう。

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
1 / 5
# 漸化式と数学的帰納法 ## 漸化式と数学的帰納法の概要 数列の単元で一番応用力が試される分野。漸化式は隣り合う項の関係から一般項 を求める問題で、数学的帰納法は自然数nに関する命題を証明するための強力 な手法。この二つはセットで出題されることも多いから、しっかり理解してお

漸化式と数学的帰納法の基礎

君が数列で最も苦戦するのがこの分野かもしれないが、実はパターンを覚えれば確実に解けるようになる。漸化式は数列の隣り合う項の関係式で、初項と一緒に与えられると数列全体が決まる仕組みだ。

一般項を求めることが最終目標になる。例えば a1=2a_1 = 2、an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 という漸化式があれば、これから ana_n をnの式で表すことを目指す。

一方、数学的帰納法は自然数nに関する命題を証明する方法だ。ドミノ倒しに例えられることが多く、最初のドミノ（n=1）を倒し、あるドミノが倒れれば次も倒れることを示せば、すべてのドミノが倒れることを証明できる。

覚えておこう: 共通テストでは誘導に従って解き進める形式が多いから、基本パターンの習得が何より重要だ。

# 漸化式と数学的帰納法 ## 漸化式と数学的帰納法の概要 数列の単元で一番応用力が試される分野。漸化式は隣り合う項の関係から一般項 を求める問題で、数学的帰納法は自然数nに関する命題を証明するための強力 な手法。この二つはセットで出題されることも多いから、しっかり理解してお

漸化式の4つの基本パターン

漸化式の問題は型を見抜くことが勝負の分かれ目だ。まずは形を判別してから適切な解法を選ぼう。

等差数列型（an+1=an+da_{n+1} = a_n + d）と等比数列型（an+1=rana_{n+1} = ra_n）は基本中の基本。それぞれ公差d、公比rを使って一般項がすぐに求まる。

階差数列型（an+1=an+f(n)a_{n+1} = a_n + f(n)）では、階差数列の考え方を使って an=a1+∑k=1n−1f(k)a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k) で求める。ただし、この公式は n≥2n \geq 2 で成り立つから、n=1n=1 のときの確認を忘れずに。

最も重要なのが an+1=pan+qa_{n+1} = pa_n + q 型だ。特性方程式 α=pα+qα = pα + q を解いて、an+1−α=p(an−α)a_{n+1} - α = p(a_n - α) の形に変形する。この変形により等比数列の問題に帰着できる。

ポイント: 特性方程式を使う理由は、等比数列の形 bn+1=pbnb_{n+1} = pb_n を作るため。bn=an−αb_n = a_n - α とおくことで解決できる。

# 漸化式と数学的帰納法 ## 漸化式と数学的帰納法の概要 数列の単元で一番応用力が試される分野。漸化式は隣り合う項の関係から一般項 を求める問題で、数学的帰納法は自然数nに関する命題を証明するための強力 な手法。この二つはセットで出題されることも多いから、しっかり理解してお

数学的帰納法の証明手順

証明問題は型通りに書くことで確実に点数が取れる。手順を守って、採点者に分かりやすく論理を展開しよう。

[I] n=1での成立: まず n=1n=1 を命題に代入して、左辺と右辺を計算する。両辺が等しくなることを確認して「n=1n=1 のとき命題は成り立つ」と結論づける。

[II] n=k⇒n=k+1の証明: 「n=kn=k のとき命題が成り立つ」と仮定し、この仮定を使って n=k+1n=k+1 のときも成り立つことを示す。仮定の式を明確に書いて、どこで使ったかを「仮定より」と明記することが重要だ。

例えば $1+2+...+n = \frac{nn+1n+1}{2}を証明する場合、 を証明する場合、n=k+1のときの左辺で のときの左辺で 1+2+...+kの部分を仮定の式 の部分を仮定の式 \frac{kk+1k+1}{2}$ に置き換えて計算を進める。

結論: 最後に「[I], [II]より、すべての自然数nについて命題は成り立つ」と締めくくる。この定型文を忘れると減点される可能性がある。

注意: 「仮定より」という一言と、仮定をどこで使ったかを明確にすることで、論理の流れが採点者に伝わりやすくなる。

# 漸化式と数学的帰納法 ## 漸化式と数学的帰納法の概要 数列の単元で一番応用力が試される分野。漸化式は隣り合う項の関係から一般項 を求める問題で、数学的帰納法は自然数nに関する命題を証明するための強力 な手法。この二つはセットで出題されることも多いから、しっかり理解してお

実際の問題で理解を深めよう

具体例を通して解法の流れを確認してみよう。a1=3a_1 = 3、an+1=2an−1a_{n+1} = 2a_n - 1 の一般項を求める問題を考える。

これは an+1=pan+qa_{n+1} = pa_n + q 型（p=2,q=−1p=2, q=-1）だから、特性方程式 α=2α−1α = 2α - 1 を解く。α=1α = 1 が得られる。

漸化式を変形して an+1−1=2(an−1)a_{n+1} - 1 = 2(a_n - 1) とする。bn=an−1b_n = a_n - 1 とおくと、bn+1=2bnb_{n+1} = 2b_n という等比数列になる。

b1=a1−1=3−1=2b_1 = a_1 - 1 = 3 - 1 = 2 だから、bn=2⋅2n−1=2nb_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n。よって an=bn+1=2n+1a_n = b_n + 1 = 2^n + 1 が答えだ。

数学的帰納法の証明では、n=1n=1 での確認、仮定の明記、n=k+1n=k+1 での計算、結論という4つのステップを必ず踏む。計算ミスを避けるために、各ステップを丁寧に進めることが大切だ。

試験のコツ: 階差数列の公式を使った後は、必ず n=1n=1 のときも一般項が成り立つかをチェックしよう。これを忘れると大きく減点される。

# 漸化式と数学的帰納法 ## 漸化式と数学的帰納法の概要 数列の単元で一番応用力が試される分野。漸化式は隣り合う項の関係から一般項 を求める問題で、数学的帰納法は自然数nに関する命題を証明するための強力 な手法。この二つはセットで出題されることも多いから、しっかり理解してお

試験対策の最終チェック

試験で確実に得点するために、以下のポイントを押さえておこう。

漸化式のパターン認識: 問題を見たら冷静にどの型か判断する。等差、等比、階差、特性方程式の4パターンを瞬時に見分けられるよう練習を重ねよう。特性方程式では an+1−α=p(an−α)a_{n+1} - α = p(a_n - α) の変形を確実にマスターすることが重要だ。

数学的帰納法の記述: 証明の型を守ることが何より大切。「n=kn=k で仮定し、n=k+1n=k+1 で示す」という構造を明確に書き、仮定をどこで使ったかを必ず明記する。

計算の正確性: 特性方程式の変形や帰納法の n=k+1n=k+1 での計算は複雑になりがち。焦らず丁寧に展開・因数分解を行おう。不等式の証明では A>BA > B を示すために A−B>0A - B > 0 を示すのが基本戦略だ。

この分野は練習量がものを言う。様々なパターンの問題に触れて解法の引き出しを増やせば、必ず得点源にできる分野だ。

合格への近道: 基本パターンを完璧にしてから応用問題に取り組もう。焦らず着実にステップアップすることが成功の秘訣だ。



Mislili smo da nikad nećeš pitati...

Šta je Knowunity AI companion?

Naš AI Companion je AI alat fokusiran na učenike koji nudi više od samih odgovora. Napravljen na milionima Knowunity resursa, pruža relevantne informacije, personalizovane planove učenja, kvizove i sadržaj direktno u chatu, prilagođavajući se tvom individualnom putu učenja.

Gde mogu da preuzmem Knowunity aplikaciju?

Možeš preuzeti aplikaciju sa Google Play Store-a i Apple App Store-a.

Da li je Knowunity stvarno besplatan?

Tako je! Uživaj u besplatnom pristupu sadržaju za učenje, povezuj se sa drugim učenicima i dobijaj trenutnu pomoć – sve na dohvat ruke.

Najpopularniji sadržaj u TOEIC

英検2級 単語①

英検2級の単語をノートにまとめました。英単語をオレンジ色で整理したので、ご自由にお使いください！

TOEICTOEIC
高1

数と式

実数の概念を理解し、多項式の計算、因数分解、平方根の計算など、式の展開と変形を習得します。

共通試験共通試験
中3

化学基礎

物質の構成、状態、化学変化の基本原理を学び、原子や分子の視点から物質の性質を理解します。

共通試験共通試験
高1

約数と倍数、素数

最大公約数、最小公倍数の求め方、素因数分解、素数の性質を理解し、整数の基本的な構造を把握します。

共通試験共通試験
高3

二次方程式・二次不等式

判別式を用いた解の判別、解と係数の関係、そして二次不等式のグラフを用いた解法を習得し、応用問題に活用します。

共通試験共通試験
高3

日本の歴史（古代～中世） (Japanese History: Ancient to Medieval)

旧石器時代から弥生時代、古墳時代、飛鳥・奈良時代、平安時代、鎌倉時代までの日本の歴史を学びます。当時の人々の暮らしや文化、政治の移り変わりを理解します。

共通試験共通試験
中1

指数関数・対数関数のグラフ

指数関数と対数関数のグラフの形状、漸近線、増減といった性質を理解し、相互の関係性を考察します。

共通試験共通試験
高3

指数の拡張と計算

整数、有理数、実数へと指数を拡張し、指数法則を用いた計算を正確に行う技能を習得します。

共通試験共通試験
高3

力と圧力 (Force and Pressure)

力の働きや大きさ、向きについて学びます。圧力の概念を理解し、浮力や大気圧など、身近な現象と関連付けて考えます。

共通試験共通試験
中1

Najpopularniji sadržaj

英語　　単語

勉強むり。

英語英語
中1

単語1900

英単語

英語コミュニケーション英語コミュニケーション
高2

正負の数、計算

このノートは正負の数の説明や絶対値、加法、減法、乗法、除法、分配法則などの言葉の意味を赤シートで隠せるようにしました!

数学数学
中1

中2 理科　天気

大気と気圧、風、凝結について

理科理科
中2

英検2級 単語①

英検2級の単語をノートにまとめました。英単語をオレンジ色で整理したので、ご自由にお使いください！

TOEICTOEIC
高1

国語 文法 単語

国語の文法、単語です。

国語国語
中1

理科ワーク

理科のワークをまとめて解いたものです。

理科理科
中2

血球の解剖生理➕基礎看護

血球の解剖生理とボディメカニクスなど、基礎看護的な、事を勉強した時の📓です

その他その他
高3

10/21

展開・因数分解

数学数学
高1

Ne možeš da nađeš ono što tražiš? Istražuj druge predmete.

Učenici nas obožavaju — i ti ćeš takođe.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Aplikacija je super laka za korišćenje i odlično dizajnirana. Našao sam sve što mi je trebalo i dosta sam naučio iz prezentacija! Definitivno ću koristiti aplikaciju za školski zadatak! A naravno, pomaže i kao inspiracija.

Stefan S

iOS korisnik

Ova aplikacija je stvarno odlična. Tu je toliko beleški za učenje i pomoći [...]. Na primer, problem mi je francuski, a aplikacija ima toliko opcija za pomoć. Zahvaljujući ovoj aplikaciji, poboljšao sam francuski. Preporučio bih je svima.

Samantha Klich

Android korisnik

Vau, stvarno sam oduševljena. Probala sam aplikaciju jer sam je videla u reklamama mnogo puta i bila sam potpuno šokirana. Ova aplikacija je POMOĆ koju želiš za školu i pre svega, nudi toliko stvari, kao što su vežbe i sažeci, što mi je lično bilo VEOMA korisno.

Ana

iOS korisnik

Najbolja aplikacija na svetu! nema reči jer je previše dobra

Thomas R

iOS korisnik

Jednostavno neverovatno. Omogućava mi da ponavljam 10x bolje, ova aplikacija je definitivno 10/10. Toplo je preporučujem svima. Mogu da gledam i tražim beleške. Mogu da ih sačuvam u folder predmeta. Mogu da ponavljam kad god se vratim. Ako nisi probao ovu aplikaciju, stvarno propuštaš.

Basil

Android korisnik

Ova aplikacija me je učinila mnogo sigurnijim u pripremi za ispit, ne samo povećanjem samopouzdanja kroz funkcije koje ti omogućavaju da se povezuješ sa drugima i osetiš se manje usamljeno, već i kroz to što je sama aplikacija fokusirana na to da se osetiš bolje. Laka je za navigaciju, zabavna za korišćenje i korisna svima koji se muče na bilo koji način.

David K

iOS korisnik

Aplikacija je prosto odlična! Samo treba da ukucam temu u pretragu i odmah dobijem odgovor. Ne moram da gledam 10 YouTube videa da razumem nešto, tako da štedim vreme. Preporučujem!

Sudenaz Ocak

Android korisnik

U školi sam bio stvarno loš iz matematike, ali zahvaljujući ovoj aplikaciji, sada mi bolje ide. Toliko sam zahvalan što ste napravili ovu aplikaciju.

Greenlight Bonnie

Android korisnik

vrlo pouzdana aplikacija za pomoć i razvoj tvojih ideja iz matematike, engleskog i drugih povezanih tema u radu. molim te koristi ovu aplikaciju ako se mučiš u određenim oblastima, ova aplikacija je ključna za to. voleo bih da sam ranije napisao recenziju. i takođe je besplatna tako da ne brini zbog toga.

Rohan U

Android korisnik

Znam da mnoge aplikacije koriste lažne naloge za povećanje recenzija ali ova aplikacija zaslužuje sve. Prvobitno sam imao 4 na ispitima iz engleskog a ovaj put sam dobio ocenu 7. Nisam ni znao za ovu aplikaciju tri dana pre ispita i pomogla mi je MNOGO. Molim te stvarno mi veruj i koristi je jer sam siguran da ćeš i ti videti napredak.

Xander S

iOS korisnik

KVIZOVI I KARTICE SU TAKO KORISNI I OBOŽAVAM Knowunity AI. TAKOĐE JE BUKVALNO KAO CHATGPT ALI PAMETNIJI!! POMOGAO MI JE I SA PROBLEMIMA SA MASKAROM!! KAO I SA MOJIM PRAVIM PREDMETIMA! NARAVNO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS korisnik

Ova aplikacija je stvarno najbolja. Ponavljanje mi je tako dosadno ali ova aplikacija čini tako lakim da organizuješ sve i onda možeš pitati besplatni AI da te testira tako dobro i lako možeš otpremiti svoje stvari. toplo preporučujem kao neko ko sada polaže probne ispite

Paul T

iOS korisnik

Aplikacija je super laka za korišćenje i odlično dizajnirana. Našao sam sve što mi je trebalo i dosta sam naučio iz prezentacija! Definitivno ću koristiti aplikaciju za školski zadatak! A naravno, pomaže i kao inspiracija.

Stefan S

iOS korisnik

Ova aplikacija je stvarno odlična. Tu je toliko beleški za učenje i pomoći [...]. Na primer, problem mi je francuski, a aplikacija ima toliko opcija za pomoć. Zahvaljujući ovoj aplikaciji, poboljšao sam francuski. Preporučio bih je svima.

Samantha Klich

Android korisnik

Vau, stvarno sam oduševljena. Probala sam aplikaciju jer sam je videla u reklamama mnogo puta i bila sam potpuno šokirana. Ova aplikacija je POMOĆ koju želiš za školu i pre svega, nudi toliko stvari, kao što su vežbe i sažeci, što mi je lično bilo VEOMA korisno.

Ana

iOS korisnik

Najbolja aplikacija na svetu! nema reči jer je previše dobra

Thomas R

iOS korisnik

Jednostavno neverovatno. Omogućava mi da ponavljam 10x bolje, ova aplikacija je definitivno 10/10. Toplo je preporučujem svima. Mogu da gledam i tražim beleške. Mogu da ih sačuvam u folder predmeta. Mogu da ponavljam kad god se vratim. Ako nisi probao ovu aplikaciju, stvarno propuštaš.

Basil

Android korisnik

Ova aplikacija me je učinila mnogo sigurnijim u pripremi za ispit, ne samo povećanjem samopouzdanja kroz funkcije koje ti omogućavaju da se povezuješ sa drugima i osetiš se manje usamljeno, već i kroz to što je sama aplikacija fokusirana na to da se osetiš bolje. Laka je za navigaciju, zabavna za korišćenje i korisna svima koji se muče na bilo koji način.

David K

iOS korisnik

Aplikacija je prosto odlična! Samo treba da ukucam temu u pretragu i odmah dobijem odgovor. Ne moram da gledam 10 YouTube videa da razumem nešto, tako da štedim vreme. Preporučujem!

Sudenaz Ocak

Android korisnik

U školi sam bio stvarno loš iz matematike, ali zahvaljujući ovoj aplikaciji, sada mi bolje ide. Toliko sam zahvalan što ste napravili ovu aplikaciju.

Greenlight Bonnie

Android korisnik

vrlo pouzdana aplikacija za pomoć i razvoj tvojih ideja iz matematike, engleskog i drugih povezanih tema u radu. molim te koristi ovu aplikaciju ako se mučiš u određenim oblastima, ova aplikacija je ključna za to. voleo bih da sam ranije napisao recenziju. i takođe je besplatna tako da ne brini zbog toga.

Rohan U

Android korisnik

Znam da mnoge aplikacije koriste lažne naloge za povećanje recenzija ali ova aplikacija zaslužuje sve. Prvobitno sam imao 4 na ispitima iz engleskog a ovaj put sam dobio ocenu 7. Nisam ni znao za ovu aplikaciju tri dana pre ispita i pomogla mi je MNOGO. Molim te stvarno mi veruj i koristi je jer sam siguran da ćeš i ti videti napredak.

Xander S

iOS korisnik

KVIZOVI I KARTICE SU TAKO KORISNI I OBOŽAVAM Knowunity AI. TAKOĐE JE BUKVALNO KAO CHATGPT ALI PAMETNIJI!! POMOGAO MI JE I SA PROBLEMIMA SA MASKAROM!! KAO I SA MOJIM PRAVIM PREDMETIMA! NARAVNO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS korisnik

Ova aplikacija je stvarno najbolja. Ponavljanje mi je tako dosadno ali ova aplikacija čini tako lakim da organizuješ sve i onda možeš pitati besplatni AI da te testira tako dobro i lako možeš otpremiti svoje stvari. toplo preporučujem kao neko ko sada polaže probne ispite

Paul T

iOS korisnik

 

共通試験

•

15

•

Ažurirano Apr 28, 2026

•

5 stranice

漸化式の解き方と数学的帰納法の活用

数列の中でも特に応用力が求められる「漸化式と数学的帰納法」について学んでいこう。漸化式は隣り合う項の関係から一般項を求める手法で、数学的帰納法は自然数に関する命題を証明する強力な道具だ。この2つは共通テストでもよく出題されるから、基本パターンをしっかりマスターしておこう。

# 漸化式と数学的帰納法 ## 漸化式と数学的帰納法の概要 数列の単元で一番応用力が試される分野。漸化式は隣り合う項の関係から一般項 を求める問題で、数学的帰納法は自然数nに関する命題を証明するための強力 な手法。この二つはセットで出題されることも多いから、しっかり理解してお

Registruj se da vidiš sadržajBesplatno je!

Pristup svim dokumentima

Poboljšaj svoje ocene

Pridruži se milionima učenika

漸化式と数学的帰納法の基礎

君が数列で最も苦戦するのがこの分野かもしれないが、実はパターンを覚えれば確実に解けるようになる。漸化式は数列の隣り合う項の関係式で、初項と一緒に与えられると数列全体が決まる仕組みだ。

一般項を求めることが最終目標になる。例えば a1=2a_1 = 2、an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 という漸化式があれば、これから ana_n をnの式で表すことを目指す。

一方、数学的帰納法は自然数nに関する命題を証明する方法だ。ドミノ倒しに例えられることが多く、最初のドミノ（n=1）を倒し、あるドミノが倒れれば次も倒れることを示せば、すべてのドミノが倒れることを証明できる。

覚えておこう: 共通テストでは誘導に従って解き進める形式が多いから、基本パターンの習得が何より重要だ。

# 漸化式と数学的帰納法 ## 漸化式と数学的帰納法の概要 数列の単元で一番応用力が試される分野。漸化式は隣り合う項の関係から一般項 を求める問題で、数学的帰納法は自然数nに関する命題を証明するための強力 な手法。この二つはセットで出題されることも多いから、しっかり理解してお

Registruj se da vidiš sadržajBesplatno je!

Pristup svim dokumentima

Poboljšaj svoje ocene

Pridruži se milionima učenika

漸化式の4つの基本パターン

漸化式の問題は型を見抜くことが勝負の分かれ目だ。まずは形を判別してから適切な解法を選ぼう。

等差数列型（an+1=an+da_{n+1} = a_n + d）と等比数列型（an+1=rana_{n+1} = ra_n）は基本中の基本。それぞれ公差d、公比rを使って一般項がすぐに求まる。

階差数列型（an+1=an+f(n)a_{n+1} = a_n + f(n)）では、階差数列の考え方を使って an=a1+∑k=1n−1f(k)a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k) で求める。ただし、この公式は n≥2n \geq 2 で成り立つから、n=1n=1 のときの確認を忘れずに。

最も重要なのが an+1=pan+qa_{n+1} = pa_n + q 型だ。特性方程式 α=pα+qα = pα + q を解いて、an+1−α=p(an−α)a_{n+1} - α = p(a_n - α) の形に変形する。この変形により等比数列の問題に帰着できる。

ポイント: 特性方程式を使う理由は、等比数列の形 bn+1=pbnb_{n+1} = pb_n を作るため。bn=an−αb_n = a_n - α とおくことで解決できる。

# 漸化式と数学的帰納法 ## 漸化式と数学的帰納法の概要 数列の単元で一番応用力が試される分野。漸化式は隣り合う項の関係から一般項 を求める問題で、数学的帰納法は自然数nに関する命題を証明するための強力 な手法。この二つはセットで出題されることも多いから、しっかり理解してお

Registruj se da vidiš sadržajBesplatno je!

Pristup svim dokumentima

Poboljšaj svoje ocene

Pridruži se milionima učenika

数学的帰納法の証明手順

証明問題は型通りに書くことで確実に点数が取れる。手順を守って、採点者に分かりやすく論理を展開しよう。

[I] n=1での成立: まず n=1n=1 を命題に代入して、左辺と右辺を計算する。両辺が等しくなることを確認して「n=1n=1 のとき命題は成り立つ」と結論づける。

[II] n=k⇒n=k+1の証明: 「n=kn=k のとき命題が成り立つ」と仮定し、この仮定を使って n=k+1n=k+1 のときも成り立つことを示す。仮定の式を明確に書いて、どこで使ったかを「仮定より」と明記することが重要だ。

例えば $1+2+...+n = \frac{nn+1n+1}{2}を証明する場合、 を証明する場合、n=k+1のときの左辺で のときの左辺で 1+2+...+kの部分を仮定の式 の部分を仮定の式 \frac{kk+1k+1}{2}$ に置き換えて計算を進める。

結論: 最後に「[I], [II]より、すべての自然数nについて命題は成り立つ」と締めくくる。この定型文を忘れると減点される可能性がある。

注意: 「仮定より」という一言と、仮定をどこで使ったかを明確にすることで、論理の流れが採点者に伝わりやすくなる。

# 漸化式と数学的帰納法 ## 漸化式と数学的帰納法の概要 数列の単元で一番応用力が試される分野。漸化式は隣り合う項の関係から一般項 を求める問題で、数学的帰納法は自然数nに関する命題を証明するための強力 な手法。この二つはセットで出題されることも多いから、しっかり理解してお

Registruj se da vidiš sadržajBesplatno je!

Pristup svim dokumentima

Poboljšaj svoje ocene

Pridruži se milionima učenika

実際の問題で理解を深めよう

具体例を通して解法の流れを確認してみよう。a1=3a_1 = 3、an+1=2an−1a_{n+1} = 2a_n - 1 の一般項を求める問題を考える。

これは an+1=pan+qa_{n+1} = pa_n + q 型（p=2,q=−1p=2, q=-1）だから、特性方程式 α=2α−1α = 2α - 1 を解く。α=1α = 1 が得られる。

漸化式を変形して an+1−1=2(an−1)a_{n+1} - 1 = 2(a_n - 1) とする。bn=an−1b_n = a_n - 1 とおくと、bn+1=2bnb_{n+1} = 2b_n という等比数列になる。

b1=a1−1=3−1=2b_1 = a_1 - 1 = 3 - 1 = 2 だから、bn=2⋅2n−1=2nb_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n。よって an=bn+1=2n+1a_n = b_n + 1 = 2^n + 1 が答えだ。

数学的帰納法の証明では、n=1n=1 での確認、仮定の明記、n=k+1n=k+1 での計算、結論という4つのステップを必ず踏む。計算ミスを避けるために、各ステップを丁寧に進めることが大切だ。

試験のコツ: 階差数列の公式を使った後は、必ず n=1n=1 のときも一般項が成り立つかをチェックしよう。これを忘れると大きく減点される。

# 漸化式と数学的帰納法 ## 漸化式と数学的帰納法の概要 数列の単元で一番応用力が試される分野。漸化式は隣り合う項の関係から一般項 を求める問題で、数学的帰納法は自然数nに関する命題を証明するための強力 な手法。この二つはセットで出題されることも多いから、しっかり理解してお

Registruj se da vidiš sadržajBesplatno je!

Pristup svim dokumentima

Poboljšaj svoje ocene

Pridruži se milionima učenika

試験対策の最終チェック

試験で確実に得点するために、以下のポイントを押さえておこう。

漸化式のパターン認識: 問題を見たら冷静にどの型か判断する。等差、等比、階差、特性方程式の4パターンを瞬時に見分けられるよう練習を重ねよう。特性方程式では an+1−α=p(an−α)a_{n+1} - α = p(a_n - α) の変形を確実にマスターすることが重要だ。

数学的帰納法の記述: 証明の型を守ることが何より大切。「n=kn=k で仮定し、n=k+1n=k+1 で示す」という構造を明確に書き、仮定をどこで使ったかを必ず明記する。

計算の正確性: 特性方程式の変形や帰納法の n=k+1n=k+1 での計算は複雑になりがち。焦らず丁寧に展開・因数分解を行おう。不等式の証明では A>BA > B を示すために A−B>0A - B > 0 を示すのが基本戦略だ。

この分野は練習量がものを言う。様々なパターンの問題に触れて解法の引き出しを増やせば、必ず得点源にできる分野だ。

合格への近道: 基本パターンを完璧にしてから応用問題に取り組もう。焦らず着実にステップアップすることが成功の秘訣だ。

Mislili smo da nikad nećeš pitati...

Šta je Knowunity AI companion?

Naš AI Companion je AI alat fokusiran na učenike koji nudi više od samih odgovora. Napravljen na milionima Knowunity resursa, pruža relevantne informacije, personalizovane planove učenja, kvizove i sadržaj direktno u chatu, prilagođavajući se tvom individualnom putu učenja.

Gde mogu da preuzmem Knowunity aplikaciju?

Možeš preuzeti aplikaciju sa Google Play Store-a i Apple App Store-a.

Da li je Knowunity stvarno besplatan?

Tako je! Uživaj u besplatnom pristupu sadržaju za učenje, povezuj se sa drugim učenicima i dobijaj trenutnu pomoć – sve na dohvat ruke.

0

Pametni alati NEW

Pretvori ovu belešku u: ✓ 50+ pitanja za vežbu ✓ Interaktivne kartice ✓ Ceo probni ispit ✓ Osnove za eseje

Probni ispit
Kviz
Kartice
Esej

Najpopularniji sadržaj u TOEIC

英検2級 単語①

英検2級の単語をノートにまとめました。英単語をオレンジ色で整理したので、ご自由にお使いください！

TOEICTOEIC
高1

数と式

実数の概念を理解し、多項式の計算、因数分解、平方根の計算など、式の展開と変形を習得します。

共通試験共通試験
中3

化学基礎

物質の構成、状態、化学変化の基本原理を学び、原子や分子の視点から物質の性質を理解します。

共通試験共通試験
高1

約数と倍数、素数

最大公約数、最小公倍数の求め方、素因数分解、素数の性質を理解し、整数の基本的な構造を把握します。

共通試験共通試験
高3

二次方程式・二次不等式

判別式を用いた解の判別、解と係数の関係、そして二次不等式のグラフを用いた解法を習得し、応用問題に活用します。

共通試験共通試験
高3

日本の歴史（古代～中世） (Japanese History: Ancient to Medieval)

旧石器時代から弥生時代、古墳時代、飛鳥・奈良時代、平安時代、鎌倉時代までの日本の歴史を学びます。当時の人々の暮らしや文化、政治の移り変わりを理解します。

共通試験共通試験
中1

指数関数・対数関数のグラフ

指数関数と対数関数のグラフの形状、漸近線、増減といった性質を理解し、相互の関係性を考察します。

共通試験共通試験
高3

指数の拡張と計算

整数、有理数、実数へと指数を拡張し、指数法則を用いた計算を正確に行う技能を習得します。

共通試験共通試験
高3

力と圧力 (Force and Pressure)

力の働きや大きさ、向きについて学びます。圧力の概念を理解し、浮力や大気圧など、身近な現象と関連付けて考えます。

共通試験共通試験
中1

Najpopularniji sadržaj

英語　　単語

勉強むり。

英語英語
中1

単語1900

英単語

英語コミュニケーション英語コミュニケーション
高2

正負の数、計算

このノートは正負の数の説明や絶対値、加法、減法、乗法、除法、分配法則などの言葉の意味を赤シートで隠せるようにしました!

数学数学
中1

中2 理科　天気

大気と気圧、風、凝結について

理科理科
中2

英検2級 単語①

英検2級の単語をノートにまとめました。英単語をオレンジ色で整理したので、ご自由にお使いください！

TOEICTOEIC
高1

国語 文法 単語

国語の文法、単語です。

国語国語
中1

理科ワーク

理科のワークをまとめて解いたものです。

理科理科
中2

血球の解剖生理➕基礎看護

血球の解剖生理とボディメカニクスなど、基礎看護的な、事を勉強した時の📓です

その他その他
高3

10/21

展開・因数分解

数学数学
高1

Ne možeš da nađeš ono što tražiš? Istražuj druge predmete.

Učenici nas obožavaju — i ti ćeš takođe.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Aplikacija je super laka za korišćenje i odlično dizajnirana. Našao sam sve što mi je trebalo i dosta sam naučio iz prezentacija! Definitivno ću koristiti aplikaciju za školski zadatak! A naravno, pomaže i kao inspiracija.

Stefan S

iOS korisnik

Ova aplikacija je stvarno odlična. Tu je toliko beleški za učenje i pomoći [...]. Na primer, problem mi je francuski, a aplikacija ima toliko opcija za pomoć. Zahvaljujući ovoj aplikaciji, poboljšao sam francuski. Preporučio bih je svima.

Samantha Klich

Android korisnik

Vau, stvarno sam oduševljena. Probala sam aplikaciju jer sam je videla u reklamama mnogo puta i bila sam potpuno šokirana. Ova aplikacija je POMOĆ koju želiš za školu i pre svega, nudi toliko stvari, kao što su vežbe i sažeci, što mi je lično bilo VEOMA korisno.

Ana

iOS korisnik

Najbolja aplikacija na svetu! nema reči jer je previše dobra

Thomas R

iOS korisnik

Jednostavno neverovatno. Omogućava mi da ponavljam 10x bolje, ova aplikacija je definitivno 10/10. Toplo je preporučujem svima. Mogu da gledam i tražim beleške. Mogu da ih sačuvam u folder predmeta. Mogu da ponavljam kad god se vratim. Ako nisi probao ovu aplikaciju, stvarno propuštaš.

Basil

Android korisnik

Ova aplikacija me je učinila mnogo sigurnijim u pripremi za ispit, ne samo povećanjem samopouzdanja kroz funkcije koje ti omogućavaju da se povezuješ sa drugima i osetiš se manje usamljeno, već i kroz to što je sama aplikacija fokusirana na to da se osetiš bolje. Laka je za navigaciju, zabavna za korišćenje i korisna svima koji se muče na bilo koji način.

David K

iOS korisnik

Aplikacija je prosto odlična! Samo treba da ukucam temu u pretragu i odmah dobijem odgovor. Ne moram da gledam 10 YouTube videa da razumem nešto, tako da štedim vreme. Preporučujem!

Sudenaz Ocak

Android korisnik

U školi sam bio stvarno loš iz matematike, ali zahvaljujući ovoj aplikaciji, sada mi bolje ide. Toliko sam zahvalan što ste napravili ovu aplikaciju.

Greenlight Bonnie

Android korisnik

vrlo pouzdana aplikacija za pomoć i razvoj tvojih ideja iz matematike, engleskog i drugih povezanih tema u radu. molim te koristi ovu aplikaciju ako se mučiš u određenim oblastima, ova aplikacija je ključna za to. voleo bih da sam ranije napisao recenziju. i takođe je besplatna tako da ne brini zbog toga.

Rohan U

Android korisnik

Znam da mnoge aplikacije koriste lažne naloge za povećanje recenzija ali ova aplikacija zaslužuje sve. Prvobitno sam imao 4 na ispitima iz engleskog a ovaj put sam dobio ocenu 7. Nisam ni znao za ovu aplikaciju tri dana pre ispita i pomogla mi je MNOGO. Molim te stvarno mi veruj i koristi je jer sam siguran da ćeš i ti videti napredak.

Xander S

iOS korisnik

KVIZOVI I KARTICE SU TAKO KORISNI I OBOŽAVAM Knowunity AI. TAKOĐE JE BUKVALNO KAO CHATGPT ALI PAMETNIJI!! POMOGAO MI JE I SA PROBLEMIMA SA MASKAROM!! KAO I SA MOJIM PRAVIM PREDMETIMA! NARAVNO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS korisnik

Ova aplikacija je stvarno najbolja. Ponavljanje mi je tako dosadno ali ova aplikacija čini tako lakim da organizuješ sve i onda možeš pitati besplatni AI da te testira tako dobro i lako možeš otpremiti svoje stvari. toplo preporučujem kao neko ko sada polaže probne ispite

Paul T

iOS korisnik

Aplikacija je super laka za korišćenje i odlično dizajnirana. Našao sam sve što mi je trebalo i dosta sam naučio iz prezentacija! Definitivno ću koristiti aplikaciju za školski zadatak! A naravno, pomaže i kao inspiracija.

Stefan S

iOS korisnik

Ova aplikacija je stvarno odlična. Tu je toliko beleški za učenje i pomoći [...]. Na primer, problem mi je francuski, a aplikacija ima toliko opcija za pomoć. Zahvaljujući ovoj aplikaciji, poboljšao sam francuski. Preporučio bih je svima.

Samantha Klich

Android korisnik

Vau, stvarno sam oduševljena. Probala sam aplikaciju jer sam je videla u reklamama mnogo puta i bila sam potpuno šokirana. Ova aplikacija je POMOĆ koju želiš za školu i pre svega, nudi toliko stvari, kao što su vežbe i sažeci, što mi je lično bilo VEOMA korisno.

Ana

iOS korisnik

Najbolja aplikacija na svetu! nema reči jer je previše dobra

Thomas R

iOS korisnik

Jednostavno neverovatno. Omogućava mi da ponavljam 10x bolje, ova aplikacija je definitivno 10/10. Toplo je preporučujem svima. Mogu da gledam i tražim beleške. Mogu da ih sačuvam u folder predmeta. Mogu da ponavljam kad god se vratim. Ako nisi probao ovu aplikaciju, stvarno propuštaš.

Basil

Android korisnik

Ova aplikacija me je učinila mnogo sigurnijim u pripremi za ispit, ne samo povećanjem samopouzdanja kroz funkcije koje ti omogućavaju da se povezuješ sa drugima i osetiš se manje usamljeno, već i kroz to što je sama aplikacija fokusirana na to da se osetiš bolje. Laka je za navigaciju, zabavna za korišćenje i korisna svima koji se muče na bilo koji način.

David K

iOS korisnik

Aplikacija je prosto odlična! Samo treba da ukucam temu u pretragu i odmah dobijem odgovor. Ne moram da gledam 10 YouTube videa da razumem nešto, tako da štedim vreme. Preporučujem!

Sudenaz Ocak

Android korisnik

U školi sam bio stvarno loš iz matematike, ali zahvaljujući ovoj aplikaciji, sada mi bolje ide. Toliko sam zahvalan što ste napravili ovu aplikaciju.

Greenlight Bonnie

Android korisnik

vrlo pouzdana aplikacija za pomoć i razvoj tvojih ideja iz matematike, engleskog i drugih povezanih tema u radu. molim te koristi ovu aplikaciju ako se mučiš u određenim oblastima, ova aplikacija je ključna za to. voleo bih da sam ranije napisao recenziju. i takođe je besplatna tako da ne brini zbog toga.

Rohan U

Android korisnik

Znam da mnoge aplikacije koriste lažne naloge za povećanje recenzija ali ova aplikacija zaslužuje sve. Prvobitno sam imao 4 na ispitima iz engleskog a ovaj put sam dobio ocenu 7. Nisam ni znao za ovu aplikaciju tri dana pre ispita i pomogla mi je MNOGO. Molim te stvarno mi veruj i koristi je jer sam siguran da ćeš i ti videti napredak.

Xander S

iOS korisnik

KVIZOVI I KARTICE SU TAKO KORISNI I OBOŽAVAM Knowunity AI. TAKOĐE JE BUKVALNO KAO CHATGPT ALI PAMETNIJI!! POMOGAO MI JE I SA PROBLEMIMA SA MASKAROM!! KAO I SA MOJIM PRAVIM PREDMETIMA! NARAVNO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS korisnik

Ova aplikacija je stvarno najbolja. Ponavljanje mi je tako dosadno ali ova aplikacija čini tako lakim da organizuješ sve i onda možeš pitati besplatni AI da te testira tako dobro i lako možeš otpremiti svoje stvari. toplo preporučujem kao neko ko sada polaže probne ispite

Paul T

iOS korisnik