Домен, нуле и основна својства функције

Кад испитујеш функцију $f(x) = arctg \left(\frac{x}{x+2}\right) - \frac{x}{x+1}$, прво мораш да одредиш домен. Пошто имаш разломке, именилац не сме да буде нула, па је $x \neq -2$ и $x \neq -1$.

За нуле функције, добијаш једначину $arctg \left(\frac{x}{x+2}\right) = \frac{x}{x+1}$ која спада у трансцендентне једначине. Ове једначине не можеш да решиш алгебарски, већ само нумерички или графички.

Пресек са у-осом добијаш кад ставиш $x = 0$: $f(0) = 0$, па је тачка $(0,0)$ на графику. Функција није парна ни непарна јер домен није симетричан у односу на координатни почетак.

Запамти: Трансцендентне једначине садрже комбинацију алгебарских и трансцендентних функција и решавају се приближно!

Асимптоте функције

Вертикалне асимптоте тражиш на местима где функција није дефинисана. За $x = -2$, лимеси слева и здесна су коначни, па нема асимптоте. За $x = -1$, добијаш $\lim_{x \to -1^-} f(x) = -\infty$ и $\lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty$, што значи да је $x = -1$ вертикална асимптота.

За хоризонталне асимптоте, рачунаш $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0$, што значи да нема косих асимптота. Даље рачунаш $n = \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{\pi}{4} - 1$, па је $y = \frac{\pi}{4} - 1$ хоризонтална асимптота.

Асимптоте ти показују како се функција понаша на крајевима домена и око проблематичних тачака.

Савет: Кад рачунаш лимесе са $arctg$, сети се да је $\lim_{x \to \infty} arctg(x) = \frac{\pi}{2}$ и $\lim_{x \to -\infty} arctg(x) = -\frac{\pi}{2}$!

Монотоност, закривљеност и график

Први извод $f'(x) = \frac{-1}{(x^2+2x+2)(x+1)^2}$ је увек негативан јер је бројилац негативан, а именилац позитиван. То значи да је функција строго опадајуća на целом домену.

Други извод $f''(x) = \frac{2(2x^2+4x+3)}{(x^2+2x+2)^2(x+1)^3}$ мења знак у тачки $x = -1$. За $x < -1$ је $f''(x) < 0$ (функција је конкавна), а за $x > -1$ је $f''(x) > 0$ (функција је конвексна).

Функција нема екстремне вредности јер је строго монотона, а нема ни превојне тачке јер се знак другог извода мења у тачки где функција није дефинисана.

График прелази кроз координатни почетак $(0,0)$, има вертикалну асимптоту $x = -1$ и хоризонталну асимптоту $y = \frac{\pi}{4} - 1$.

Кључно: Комбинација монотоности и закривљености ти даје комплетну слику о облику графика!