•

Ažurirano Apr 2, 2026

•

5 stranice

Pregled i Analiza Funkcija 3. Deo: Praktični Primeri

Irina Kopunovic

@irinakopunovic

Овде ћемо проћи кроз комплетну анализу функција корак по корак.... Prikaži više

1 / 5

Математика 1
ИСПИТИВАЊЕ ФУНКЦИЈА
Испитивање функција
3. (јануар 2019) [20] Испитати функцију f(x) = (x + 1)ет и нацртати њен график.

1) дом

Експоненцијална функција - Основни елементи

Почињемо са функцијом f(x) = $x + 1$ e^ $x-1$ која комбинује линеарни и експоненцијални део.

Домен се одређује тако што тражимо где функција није дефинисана. Овде имамо проблем када је именилац нула, па x ≠ 1. Дакле, D: x ∈ (-∞, 1) ∪ (1, +∞).

Нуле и пресеци налазимо решавањем једначине f(x) = 0. Добијамо x = -1 као нулу, а пресек са y-осом је тачка (0, -1).

За знак функције правимо табелу знакова. Функција је негативна на (-∞, -1), а позитивна на (-1, 1) ∪ (1, +∞). Ова функција није ни парна ни непарна јер домен није симетричан.

💡 Кључно: Увек провери домен први - то ти одређује где функција уопште постоји!

Асимптоте и понашање функције

Вертикалне асимптоте проналазимо код вредности које нису у домену. За x = 1: лимес с лева даје 0, а с десна +∞, што значи да је x = 1 вертикална асимптота само с десне стране.

Косе асимптоте налазимо преко коефицијената k и n. Рачунамо k = lim(x→∞) f(x)/x = 1, затим n = lim(x→∞) $f(x) - kx$ = 2. Добијамо косу асимптоту y = x + 2.

Први извод нам даје f'(x) = e^ $x-1$ · x $x-3$ / $x-1$ ². Из табеле знакова видимо да функција расте на (-∞, 0) ∪ (3, +∞), а опада на (0, 1) ∪ (1, 3).

Екстремне вредности: максимум у тачки $0, 1/e$ и минимум у тачки (3, 4e²).

💡 Савет: Косе асимптоте увек тражи кад нема хоризонталних!

Закривљеност и график

Други извод f''(x) = e^ $x-1$ · $5x-3$ / $x-1$ ⁴ одређује закривљеност функције.

Функција је конкавна (∩) на (-∞, 3/5), а конвексна (∪) на (3/5, 1) ∪ (1, +∞). Превојна тачка се налази у PT $3/5, 8/(5∛e²)$ .

График приказује све ове карактеристике: вертикалну асимптоту, косу асимптоту, екстреме и превојну тачку. Функција има сложено понашање због присуства и експоненцијалне и рационалне компоненте.

💡 Запамти: График мора да прође кроз све тачке које си израчунао - то је добра провера!

Логаритамска функција - Комплетна анализа

Анализираћемо f(x) = $ln x - 1$ / $3 ln x + 3$ која садржи логаритам у бројиоцу и имениоцу.

Домен: x > 0 (услов за ln x) и 3 ln x + 3 ≠ 0, што даје x ≠ 1/e. Дакле, D: x ∈ $0, 1/e$ ∪ $1/e, +∞$ .

Нуле: ln x - 1 = 0 даје x = e као једину нулу. Нема пресека са y-осом јер x = 0 није у домену.

Знак функције: f(x) < 0 на $1/e, e$ , а f(x) > 0 на $0, 1/e$ ∪ $e, +∞$ .

За асимптоте: x = 1/e је вертикална асимптота (лимес ±∞), док је y = 1/3 хоризонтална асимптота $нема косих јер је k = 0$ .

💡 Пажња: Код логаритамских функција увек провери услов x > 0!

Монотоност и финални график

Први извод: f'(x) = 2/ $3x(ln x + 1)²$ је увек позитиван на целом домену.

То значи да функција строго расте на $0, 1/e$ ∪ $1/e, +∞$ . Нема екстремних вредности јер се извод не поништава ни мења знак.

Други извод: f''(x) = -2 $ln x + 3$ / $3x²(ln x + 1)³$ мења знак у тачки x = 1/e³.

Закривљеност: функција је конкавна на $0, 1/e³$ ∪ $1/e, +∞$ , а конвексна на $1/e³, 1/e$ . Превојна тачка је PT $1/e³, 2/3$ .

Финални график показује растућу функцију са вертикалном асимптотом у x = 1/e, хоризонталном асимптотом y = 1/3, и превојном тачком која одређује промену закривљености.

💡 Фора: Растућа функција без екстрема је ретка - то чини овај пример посебним!

Mislili smo da nikad nećeš pitati...

Šta je Knowunity AI companion?

Naš AI Companion je AI alat fokusiran na učenike koji nudi više od samih odgovora. Napravljen na milionima Knowunity resursa, pruža relevantne informacije, personalizovane planove učenja, kvizove i sadržaj direktno u chatu, prilagođavajući se tvom individualnom putu učenja.

Gde mogu da preuzmem Knowunity aplikaciju?

Možeš preuzeti aplikaciju sa Google Play Store-a i Apple App Store-a.

Da li je Knowunity stvarno besplatan?

Tako je! Uživaj u besplatnom pristupu sadržaju za učenje, povezuj se sa drugim učenicima i dobijaj trenutnu pomoć – sve na dohvat ruke.

Najpopularniji sadržaj u Matematika

Ugao

Ponavljanje vrsta uglova (oštar, prav, tup, opružen, pun), merenje uglova i učenje o uporednim, unakrsnim i uglovima na transverzali paralelnih pravih.

Matematika

6. r.

Pitagorina teorema - formule

Formule za pravougli, jednakostranični i jednakokraki trougao, kvadrat, pravougaonik, romb I trapez

Matematika

7. r.

Piramida

Definisanje piramide, njenih elemenata, te izračunavanje površine i zapremine različitih vrsta piramida (pravilna).

Matematika

1. r. SŠ

Četvorougao

Upoznavanje sa vrstama četvorouglova (paralelogram, pravougaonik, kvadrat, romb, trapez) i njihovim osnovnim svojstvima.

Matematika

6. r.

Kvadratne nejednačine

Rešavaćemo nejednačine koje sadrže kvadratne izraze, koristeći grafički pristup i analizu znaka kvadratnog trinoma.

Matematika

2. r. SŠ

Piramida

Definisanje piramide, njenih elemenata (baza, bočne strane, ivice, temena, visina, apotema) i vrste piramida (prava, pravilna).

Matematika

8. r.

Rastavljanje polinoma na činioce

Savladavanje različitih metoda faktorizacije polinoma, kao što su izvlačenje zajedničkog činioca, razlika kvadrata, zbir/razlika kubova i grupisanje.

Matematika

1. r. SŠ

Kvadratna jednačina

Naučićemo različite metode za rešavanje kvadratnih jednačina, uključujući formulu, faktorizaciju i dopunu do potpunog kvadrata.

Matematika

2. r. SŠ

Deljenje polinoma

Učenje postupka deljenja polinoma, uključujući deljenje sa ostatkom i primenu Bezuovog stava u jednostavnim slučajevima.

Matematika

1. r. SŠ

Najpopularniji sadržaj

Glagoli

Ponavljaće se poznati glagolski oblici (prezent, perfekat, futur I), a učiće se i novi oblici kao što su aorist, imperfekat, pluskvamperfekat, futur II, kao i glagolski prilozi i pridevi.

Srpski jezik

7. r.

Ugljovodonici

Učićete o najjednostavnijim organskim jedinjenjima – ugljovodonicima, uključujući alkane, alkene i alkine, njihove opšte formule i osnovnu nomenklaturu.

Hemija

1. r. SŠ

Uspon Nemanjića – stvaranje moćne države

Pratimo kako je dinastija Nemanjića izgradila snažnu i nezavisnu srpsku državu.

Istorija

7. r.

Rečenični članovi

Učiće se o glavnim i sporednim rečeničnim članovima (subjekat, predikat, objekat, priloške odredbe, atribut, apozicija) i njihovoj funkciji.

Srpski jezik

7. r.

Glasovi i glasovne promene

Ponovićemo šta su glasovi i kako se dele, a zatim ćemo učiti o važnim promenama koje se dešavaju kada se glasovi nađu jedan pored drugog u rečima (npr. jednačenje suglasnika po zvučnosti i mestu tvorbe).

Srpski jezik

6. r.

Zamenice

Saznaćemo koje sve vrste zamenica postoje (lične, prisvojne, pokazne, upitne, odnosne, neodređene, odrične, opšte) i kako se one menjaju po padežima.

Srpski jezik

6. r.

Fonetika

Za 8. Razred

Srpski jezik

8. r.

Glagoli

Obradićemo glagolska vremena (prezent, futur I, perfekat) i glagolske načine, kao i glagolske oblike (infinitiv, glagolski pridevi i prilozi) i glagolski vid (svršeni i nesvršeni).

Srpski jezik

6. r.

Ugao

Ponavljanje vrsta uglova (oštar, prav, tup, opružen, pun), merenje uglova i učenje o uporednim, unakrsnim i uglovima na transverzali paralelnih pravih.

Matematika

6. r.

Ne možeš da nađeš ono što tražiš? Istražuj druge predmete.

Učenici nas obožavaju — i ti ćeš takođe.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Aplikacija je super laka za korišćenje i odlično dizajnirana. Našao sam sve što mi je trebalo i dosta sam naučio iz prezentacija! Definitivno ću koristiti aplikaciju za školski zadatak! A naravno, pomaže i kao inspiracija.

Stefan S

iOS korisnik

Ova aplikacija je stvarno odlična. Tu je toliko beleški za učenje i pomoći [...]. Na primer, problem mi je francuski, a aplikacija ima toliko opcija za pomoć. Zahvaljujući ovoj aplikaciji, poboljšao sam francuski. Preporučio bih je svima.

Samantha Klich

Android korisnik

Vau, stvarno sam oduševljena. Probala sam aplikaciju jer sam je videla u reklamama mnogo puta i bila sam potpuno šokirana. Ova aplikacija je POMOĆ koju želiš za školu i pre svega, nudi toliko stvari, kao što su vežbe i sažeci, što mi je lično bilo VEOMA korisno.

Ana

iOS korisnik

Najbolja aplikacija na svetu! nema reči jer je previše dobra

Thomas R

iOS korisnik

Jednostavno neverovatno. Omogućava mi da ponavljam 10x bolje, ova aplikacija je definitivno 10/10. Toplo je preporučujem svima. Mogu da gledam i tražim beleške. Mogu da ih sačuvam u folder predmeta. Mogu da ponavljam kad god se vratim. Ako nisi probao ovu aplikaciju, stvarno propuštaš.

Basil

Android korisnik

Ova aplikacija me je učinila mnogo sigurnijim u pripremi za ispit, ne samo povećanjem samopouzdanja kroz funkcije koje ti omogućavaju da se povezuješ sa drugima i osetiš se manje usamljeno, već i kroz to što je sama aplikacija fokusirana na to da se osetiš bolje. Laka je za navigaciju, zabavna za korišćenje i korisna svima koji se muče na bilo koji način.

David K

iOS korisnik

Aplikacija je prosto odlična! Samo treba da ukucam temu u pretragu i odmah dobijem odgovor. Ne moram da gledam 10 YouTube videa da razumem nešto, tako da štedim vreme. Preporučujem!

Sudenaz Ocak

Android korisnik

U školi sam bio stvarno loš iz matematike, ali zahvaljujući ovoj aplikaciji, sada mi bolje ide. Toliko sam zahvalan što ste napravili ovu aplikaciju.

Greenlight Bonnie

Android korisnik

vrlo pouzdana aplikacija za pomoć i razvoj tvojih ideja iz matematike, engleskog i drugih povezanih tema u radu. molim te koristi ovu aplikaciju ako se mučiš u određenim oblastima, ova aplikacija je ključna za to. voleo bih da sam ranije napisao recenziju. i takođe je besplatna tako da ne brini zbog toga.

Rohan U

Android korisnik

Znam da mnoge aplikacije koriste lažne naloge za povećanje recenzija ali ova aplikacija zaslužuje sve. Prvobitno sam imao 4 na ispitima iz engleskog a ovaj put sam dobio ocenu 7. Nisam ni znao za ovu aplikaciju tri dana pre ispita i pomogla mi je MNOGO. Molim te stvarno mi veruj i koristi je jer sam siguran da ćeš i ti videti napredak.

Xander S

iOS korisnik

KVIZOVI I KARTICE SU TAKO KORISNI I OBOŽAVAM Knowunity AI. TAKOĐE JE BUKVALNO KAO CHATGPT ALI PAMETNIJI!! POMOGAO MI JE I SA PROBLEMIMA SA MASKAROM!! KAO I SA MOJIM PRAVIM PREDMETIMA! NARAVNO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS korisnik

Ova aplikacija je stvarno najbolja. Ponavljanje mi je tako dosadno ali ova aplikacija čini tako lakim da organizuješ sve i onda možeš pitati besplatni AI da te testira tako dobro i lako možeš otpremiti svoje stvari. toplo preporučujem kao neko ko sada polaže probne ispite

Paul T

iOS korisnik

Stefan S

iOS korisnik

Samantha Klich

Android korisnik

Ana

iOS korisnik

Najbolja aplikacija na svetu! nema reči jer je previše dobra

Thomas R

iOS korisnik

Basil

Android korisnik

David K

iOS korisnik

Aplikacija je prosto odlična! Samo treba da ukucam temu u pretragu i odmah dobijem odgovor. Ne moram da gledam 10 YouTube videa da razumem nešto, tako da štedim vreme. Preporučujem!

Sudenaz Ocak

Android korisnik

U školi sam bio stvarno loš iz matematike, ali zahvaljujući ovoj aplikaciji, sada mi bolje ide. Toliko sam zahvalan što ste napravili ovu aplikaciju.

Greenlight Bonnie

Android korisnik

Rohan U

Android korisnik

Xander S

iOS korisnik

Elisha

iOS korisnik

Paul T

iOS korisnik

Matematika

•

138

•

Ažurirano Apr 2, 2026

•

5 stranice

Pregled i Analiza Funkcija 3. Deo: Praktični Primeri

Irina Kopunovic

@irinakopunovic

Овде ћемо проћи кроз комплетну анализу функција корак по корак. Видећеш како се систематски испитују експоненцијалне и логаритамске функције, од домена до цртања графика.

Registruj se da vidiš sadržajBesplatno je!

Pristup svim dokumentima

Poboljšaj svoje ocene

Pridruži se milionima učenika

Експоненцијална функција - Основни елементи

Почињемо са функцијом f(x) = $x + 1$ e^ $x-1$ која комбинује линеарни и експоненцијални део.

Нуле и пресеци налазимо решавањем једначине f(x) = 0. Добијамо x = -1 као нулу, а пресек са y-осом је тачка (0, -1).

💡 Кључно: Увек провери домен први - то ти одређује где функција уопште постоји!

Registruj se da vidiš sadržajBesplatno je!

Pristup svim dokumentima

Poboljšaj svoje ocene

Pridruži se milionima učenika

Асимптоте и понашање функције

Екстремне вредности: максимум у тачки $0, 1/e$ и минимум у тачки (3, 4e²).

💡 Савет: Косе асимптоте увек тражи кад нема хоризонталних!

Registruj se da vidiš sadržajBesplatno je!

Pristup svim dokumentima

Poboljšaj svoje ocene

Pridruži se milionima učenika

Закривљеност и график

Други извод f''(x) = e^ $x-1$ · $5x-3$ / $x-1$ ⁴ одређује закривљеност функције.

💡 Запамти: График мора да прође кроз све тачке које си израчунао - то је добра провера!

Registruj se da vidiš sadržajBesplatno je!

Pristup svim dokumentima

Poboljšaj svoje ocene

Pridruži se milionima učenika

Логаритамска функција - Комплетна анализа

Анализираћемо f(x) = $ln x - 1$ / $3 ln x + 3$ која садржи логаритам у бројиоцу и имениоцу.

Домен: x > 0 (услов за ln x) и 3 ln x + 3 ≠ 0, што даје x ≠ 1/e. Дакле, D: x ∈ $0, 1/e$ ∪ $1/e, +∞$ .

Нуле: ln x - 1 = 0 даје x = e као једину нулу. Нема пресека са y-осом јер x = 0 није у домену.

Знак функције: f(x) < 0 на $1/e, e$ , а f(x) > 0 на $0, 1/e$ ∪ $e, +∞$ .

💡 Пажња: Код логаритамских функција увек провери услов x > 0!

Registruj se da vidiš sadržajBesplatno je!

Pristup svim dokumentima

Poboljšaj svoje ocene

Pridruži se milionima učenika

Монотоност и финални график

Први извод: f'(x) = 2/ $3x(ln x + 1)²$ је увек позитиван на целом домену.

Други извод: f''(x) = -2 $ln x + 3$ / $3x²(ln x + 1)³$ мења знак у тачки x = 1/e³.

Закривљеност: функција је конкавна на $0, 1/e³$ ∪ $1/e, +∞$ , а конвексна на $1/e³, 1/e$ . Превојна тачка је PT $1/e³, 2/3$ .

💡 Фора: Растућа функција без екстрема је ретка - то чини овај пример посебним!

Mislili smo da nikad nećeš pitati...

Šta je Knowunity AI companion?

Gde mogu da preuzmem Knowunity aplikaciju?

Možeš preuzeti aplikaciju sa Google Play Store-a i Apple App Store-a.

Da li je Knowunity stvarno besplatan?

Tako je! Uživaj u besplatnom pristupu sadržaju za učenje, povezuj se sa drugim učenicima i dobijaj trenutnu pomoć – sve na dohvat ruke.

Pametni alati NEW

Pretvori ovu belešku u: ✓ 50+ pitanja za vežbu ✓ Interaktivne kartice ✓ Ceo probni ispit ✓ Osnove za eseje

Probni ispit

Kviz

Kartice

Esej

Najpopularniji sadržaj u Matematika

Ugao

Ponavljanje vrsta uglova (oštar, prav, tup, opružen, pun), merenje uglova i učenje o uporednim, unakrsnim i uglovima na transverzali paralelnih pravih.

Matematika

6. r.

Pitagorina teorema - formule

Formule za pravougli, jednakostranični i jednakokraki trougao, kvadrat, pravougaonik, romb I trapez

Matematika

7. r.

Piramida

Definisanje piramide, njenih elemenata, te izračunavanje površine i zapremine različitih vrsta piramida (pravilna).

Matematika

1. r. SŠ

Četvorougao

Upoznavanje sa vrstama četvorouglova (paralelogram, pravougaonik, kvadrat, romb, trapez) i njihovim osnovnim svojstvima.

Matematika

6. r.

Kvadratne nejednačine

Rešavaćemo nejednačine koje sadrže kvadratne izraze, koristeći grafički pristup i analizu znaka kvadratnog trinoma.

Matematika

2. r. SŠ

Piramida

Definisanje piramide, njenih elemenata (baza, bočne strane, ivice, temena, visina, apotema) i vrste piramida (prava, pravilna).

Matematika

8. r.

Rastavljanje polinoma na činioce

Savladavanje različitih metoda faktorizacije polinoma, kao što su izvlačenje zajedničkog činioca, razlika kvadrata, zbir/razlika kubova i grupisanje.

Matematika

1. r. SŠ

Kvadratna jednačina

Naučićemo različite metode za rešavanje kvadratnih jednačina, uključujući formulu, faktorizaciju i dopunu do potpunog kvadrata.

Matematika

2. r. SŠ

Deljenje polinoma

Učenje postupka deljenja polinoma, uključujući deljenje sa ostatkom i primenu Bezuovog stava u jednostavnim slučajevima.

Matematika

1. r. SŠ

Najpopularniji sadržaj

Glagoli

Ponavljaće se poznati glagolski oblici (prezent, perfekat, futur I), a učiće se i novi oblici kao što su aorist, imperfekat, pluskvamperfekat, futur II, kao i glagolski prilozi i pridevi.

Srpski jezik

7. r.

Ugljovodonici

Učićete o najjednostavnijim organskim jedinjenjima – ugljovodonicima, uključujući alkane, alkene i alkine, njihove opšte formule i osnovnu nomenklaturu.

Hemija

1. r. SŠ

Uspon Nemanjića – stvaranje moćne države

Pratimo kako je dinastija Nemanjića izgradila snažnu i nezavisnu srpsku državu.

Istorija

7. r.

Rečenični članovi

Učiće se o glavnim i sporednim rečeničnim članovima (subjekat, predikat, objekat, priloške odredbe, atribut, apozicija) i njihovoj funkciji.

Srpski jezik

7. r.

Glasovi i glasovne promene

Srpski jezik

6. r.

Zamenice

Saznaćemo koje sve vrste zamenica postoje (lične, prisvojne, pokazne, upitne, odnosne, neodređene, odrične, opšte) i kako se one menjaju po padežima.

Srpski jezik

6. r.

Fonetika

Za 8. Razred

Srpski jezik

8. r.

Glagoli

Obradićemo glagolska vremena (prezent, futur I, perfekat) i glagolske načine, kao i glagolske oblike (infinitiv, glagolski pridevi i prilozi) i glagolski vid (svršeni i nesvršeni).

Srpski jezik

6. r.

Ugao

Ponavljanje vrsta uglova (oštar, prav, tup, opružen, pun), merenje uglova i učenje o uporednim, unakrsnim i uglovima na transverzali paralelnih pravih.

Matematika

6. r.

Ne možeš da nađeš ono što tražiš? Istražuj druge predmete.

Učenici nas obožavaju — i ti ćeš takođe.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Stefan S

iOS korisnik

Samantha Klich

Android korisnik

Ana

iOS korisnik

Najbolja aplikacija na svetu! nema reči jer je previše dobra

Thomas R

iOS korisnik

Basil

Android korisnik

David K

iOS korisnik

Aplikacija je prosto odlična! Samo treba da ukucam temu u pretragu i odmah dobijem odgovor. Ne moram da gledam 10 YouTube videa da razumem nešto, tako da štedim vreme. Preporučujem!

Sudenaz Ocak

Android korisnik

U školi sam bio stvarno loš iz matematike, ali zahvaljujući ovoj aplikaciji, sada mi bolje ide. Toliko sam zahvalan što ste napravili ovu aplikaciju.

Greenlight Bonnie

Android korisnik

Rohan U

Android korisnik

Xander S

iOS korisnik

Elisha

iOS korisnik

Paul T

iOS korisnik

Stefan S

iOS korisnik

Samantha Klich

Android korisnik

Ana

iOS korisnik

Najbolja aplikacija na svetu! nema reči jer je previše dobra

Thomas R

iOS korisnik

Basil

Android korisnik

David K

iOS korisnik

Aplikacija je prosto odlična! Samo treba da ukucam temu u pretragu i odmah dobijem odgovor. Ne moram da gledam 10 YouTube videa da razumem nešto, tako da štedim vreme. Preporučujem!

Sudenaz Ocak

Android korisnik

U školi sam bio stvarno loš iz matematike, ali zahvaljujući ovoj aplikaciji, sada mi bolje ide. Toliko sam zahvalan što ste napravili ovu aplikaciju.

Greenlight Bonnie

Android korisnik

Rohan U

Android korisnik

Xander S

iOS korisnik

Elisha

iOS korisnik

Paul T

iOS korisnik