Predmeti

Matematika

423

•

11. дец 2025.

•

4 stranice

Tablični granični odnosi - Objašnjenja i formule

Irina Kopunovic

@irinakopunovic

Granice funkcija mogu da deluju kompleksno, ali zapravo su samo... Prikaži više

1 / 4

$Математика 1 Табличне граничне вредности ТАБЛИЧНЕ ГРАНИЧНЕ ВРЕДНОСТИ АЛГЕБРА 1. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ 2. $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ 3$

Osnove i važne formule

Da bi rešavaš granice, trebaće ti nekoliko ključnih grupa formula koje stalno koristiš. Algebra ti pomaže sa stepenima - zapamti da je a^m · a^n = a^ $m+n$ i da je a^ $-n$ = 1/a^n.

Tригонометријске формule su takođe važne. Najčešće ćeš koristiti sin 2x = 2 sin x cos x i cos 2x = cos²x - sin²x. Takođe, zapamti da je cos x = 1 - 2 sin² $x/2$ .

Логаритми imaju svoje pravila: ln(a·b) = ln a + ln b, ln $a/b$ = ln a - ln b, i ln a^n = n·ln a. Ključne вредности су ln 1 = 0, ln e = 1, a ln 0 → -∞.

Савет: Ове формуле се понављају у свим задацима, тако да их добро заучи!

Prvi primer показује kako se koriste ove formule u praksi - zamenјuješ cos x sa 1 - 2 sin² $x/2$ i koristiš činjenicu da е^u - 1 ~ u kada u → 0.

Složeniji primeri sa standardnim tehnikama

Kada radiš sa корен функцијама и логаритмима истовремено, кључ је препознавање обрасца. За √cos 2x - √cos 3x, заменјујеш косинусе са 1 - 2 sin² формулом.

Техника је увек иста: замени, факторизуј и искористи табличне границе. На пример, $1 + u$ ^(1/2) - 1 ~ (1/2)u када u → 0.

За експоненцијалне функције као e^ $1+x tg x$ - e^(cos x), раздели их на e^u - 1 делове где можеš применити табличну границу e^u - 1 ~ u.

Упозорење: Пази на знакове! Лако је направити грешку са минусом у знаменику.

Запамти да ln² $1 + sin 2x$ значи $ln(1 + sin 2x)$ ², што утиче на коначни резултат јер делиш са квадратом.

Границе када x → ∞

Кад год x иде у бесконачност, твој главни задатак је да издвојиш највишу степен. За разломке типа $5x³ + √(2x⁶ + 8)$ / $4x³ + 27$ , издвајаш x³ и из бројиоца и из имениоца.

Битна напомена: √(x⁶) = |x³|, а када x → ∞, то је просто x³. Ова детаљ може да промени цео резултат!

За арктангенс границе, запамти да је arctg(+∞) = π/2 и arctg(-∞) = -π/2. У примеру 8, x⁵/ $x⁴ + 3$ се своди на x када x → ∞.

Експоненцијалне границе са x у бесконачности захтевају посебну пажњу. За 4x² ∛ $1 - e^(27/x⁶)$ , користиш чињеницу да e^u - 1 ~ u за мале u.

Кључ успеха: Увек издвој највишу степен и примени стандардне границе!

За логаритамске изразе као $x-1$ ln $1 + 2/(x+2)$ , сведи на облик где можеш применити ln $1+u$ ~ u.

Напредне технике разлике корена

Најтежи тип граница укључује разлике корена различитих степена. За ∛ $27x³ + 4x²$ - √ $9x² + 2x$ , мораш пажљиво да издвајаш факторе.

Прво издвајаш највише степене: ∛(27x³) = 3x и √(9x²) = 3x за позитивне x. Онда остаје да радиш са малим корекцијама.

Користиш апроксимације: $1+u$ ^(1/3) - 1 ≈ (1/3)u и √ $1+v$ - 1 ≈ (1/2)v за мале u и v.

Профи савет: Кад имаш разлику корена, увек их сведи на $1+нешто_мало$ ^степен - 1!

У финалном кораку, 3x множиш са разликом $1/3 · 4/(27x) - 1/2 · 2/(9x)$ , што даје коначни резултат -5/27.

Запамти: Овакви задаци изгледају страшно, али је процедура увек иста - издвој, апроксимирај, израчунај.

Mislili smo da nikad nećeš pitati...

Šta je Knowunity AI companion?

Naš AI Companion je AI alat fokusiran na učenike koji nudi više od samih odgovora. Napravljen na milionima Knowunity resursa, pruža relevantne informacije, personalizovane planove učenja, kvizove i sadržaj direktno u chatu, prilagođavajući se tvom individualnom putu učenja.

Gde mogu da preuzmem Knowunity aplikaciju?

Možeš preuzeti aplikaciju sa Google Play Store-a i Apple App Store-a.

Da li je Knowunity stvarno besplatan?

Tako je! Uživaj u besplatnom pristupu sadržaju za učenje, povezuj se sa drugim učenicima i dobijaj trenutnu pomoć – sve na dohvat ruke.

Najpopularniji sadržaji iz Matematika

Kvadratna jednačina

Naučićemo različite metode za rešavanje kvadratnih jednačina, uključujući formulu, faktorizaciju i dopunu do potpunog kvadrata.

Matematika

2. r. SŠ

Pitagorina teorema

Ponavljanje i dokaz Pitagorine teoreme za pravougli trougao.

Matematika

8. r.

Vijetove formule

Proučićemo veze između koeficijenata i rešenja kvadratne jednačine pomoću Vijetovih formula i primenjivaćemo ih u zadacima.

Matematika

2. r. SŠ

Stepenovanje i korenovanje

Ponavljanje i proširivanje pravila za stepenovanje sa celim i racionalnim izložiocima, kao i rad sa n-tim korenima i racionalizacijom imenioca.

Matematika

1. r. SŠ

Primena Pitagorine teoreme u rombu i trapezu

Primena Pitagorine teoreme za rešavanje problema sa visinama i dijagonalama romba i jednakokrakog trapeza.

Matematika

7. r.

Primena linearnih jednačina

Rešavanje tekstualnih zadataka prevođenjem problema u matematički model linearne jednačine.

Matematika

8. r.

Linearne jednačine sa jednom nepoznatom

Rešavanje linearnih jednačina različitih oblika i analiza broja rešenja (jedinstveno, beskonačno mnogo, nema rešenja).

Matematika

8. r.

Primena Pitagorine teoreme u jednakokrakom i jednakostraničnom trouglu

Izračunavanje visine i stranica u jednakokrakom i jednakostraničnom trouglu pomoću Pitagorine teoreme.

Matematika

7. r.

Primena Pitagorine teoreme u kvadratu i pravougaoniku

Korišćenje Pitagorine teoreme za izračunavanje dijagonala i stranica kvadrata i pravougaonika.

Matematika

7. r.

Najpopularniji sadržaji

Prvi srpski ustanak: uzroci, vođe i značaj

Učenici će naučiti o počecima borbe za oslobođenje, ulozi Karađorđa i značaju Prvog srpskog ustanka.

Istorija

8. r.

Glasovi i glasovne promene

Ponovićemo šta su glasovi i kako se dele, a zatim ćemo učiti o važnim promenama koje se dešavaju kada se glasovi nađu jedan pored drugog u rečima (npr. jednačenje suglasnika po zvučnosti i mestu tvorbe).

Srpski jezik

6. r.

Prvi srpski ustanak

Učenici će naučiti o uzrocima, toku i značaju Prvog srpskog ustanka, kao i o ulozi Karađorđa Petrovića u borbi za oslobođenje.

Istorija

1. r. SŠ

Drugi srpski ustanak i sticanje autonomije

Proučavaće se Drugi srpski ustanak pod vođstvom Miloša Obrenovića i postepeno sticanje autonomije Srbije unutar Osmanskog carstva.

Istorija

8. r.

Srpske revolucije (Prvi i Drugi srpski ustanak)

Učenje o uzrocima, toku i značaju borbe Srba za oslobođenje od osmanske vlasti.

Istorija

3. r. SŠ

Prošla vremena

Učenici će utvrditi upotrebu Past Simple i Past Continuous vremena, te naučiti Past Perfect Simple za izražavanje radnji koje su se desile pre neke druge radnje u prošlosti.

Engleski

1. r. SŠ

Hormonski (endokrini) sistem

Učenici će se upoznati sa žlezdama sa unutrašnjim lučenjem (npr. štitasta žlezda, pankreas) i ulogom hormona u regulaciji telesnih funkcija.

Biologija

8. r.

Kovalentna veza

Razumećete kako se kovalentna veza formira deljenjem elektrona, razlikujući polarnu i nepolarnu kovalentnu vezu, kao i jednostruke, dvostruke i trostruke veze.

Hemija

1. r. SŠ

Krstaški ratovi

Učimo o vojnim pohodima evropskih hrišćana na Bliski istok i njihovim posledicama.

Istorija

7. r.

Ne možeš da nađeš ono što tražiš? Istražuj druge predmete.

Učenici nas obožavaju — i ti ćeš takođe.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacija je super laka za korišćenje i odlično dizajnirana. Našao sam sve što mi je trebalo i dosta sam naučio iz prezentacija! Definitivno ću koristiti aplikaciju za školski zadatak! A naravno, pomaže i kao inspiracija.

Stefan S

iOS korisnik

Ova aplikacija je stvarno odlična. Tu je toliko beleški za učenje i pomoći [...]. Na primer, problem mi je francuski, a aplikacija ima toliko opcija za pomoć. Zahvaljujući ovoj aplikaciji, poboljšao sam francuski. Preporučio bih je svima.

Samantha Klich

Android korisnik

Vau, stvarno sam oduševljena. Probala sam aplikaciju jer sam je videla u reklamama mnogo puta i bila sam potpuno šokirana. Ova aplikacija je POMOĆ koju želiš za školu i pre svega, nudi toliko stvari, kao što su vežbe i sažeci, što mi je lično bilo VEOMA korisno.

Ana

iOS korisnik

Najbolja aplikacija na svetu! nema reči jer je previše dobra

Thomas R

iOS korisnik

Jednostavno neverovatno. Omogućava mi da ponavljam 10x bolje, ova aplikacija je definitivno 10/10. Toplo je preporučujem svima. Mogu da gledam i tražim beleške. Mogu da ih sačuvam u folder predmeta. Mogu da ponavljam kad god se vratim. Ako nisi probao ovu aplikaciju, stvarno propuštaš.

Basil

Android korisnik

Ova aplikacija me je učinila mnogo sigurnijim u pripremi za ispit, ne samo povećanjem samopouzdanja kroz funkcije koje ti omogućavaju da se povezuješ sa drugima i osetiš se manje usamljeno, već i kroz to što je sama aplikacija fokusirana na to da se osetiš bolje. Laka je za navigaciju, zabavna za korišćenje i korisna svima koji se muče na bilo koji način.

David K

iOS korisnik

Aplikacija je prosto odlična! Samo treba da ukucam temu u pretragu i odmah dobijem odgovor. Ne moram da gledam 10 YouTube videa da razumem nešto, tako da štedim vreme. Preporučujem!

Sudenaz Ocak

Android korisnik

U školi sam bio stvarno loš iz matematike, ali zahvaljujući ovoj aplikaciji, sada mi bolje ide. Toliko sam zahvalan što ste napravili ovu aplikaciju.

Greenlight Bonnie

Android korisnik

vrlo pouzdana aplikacija za pomoć i razvoj tvojih ideja iz matematike, engleskog i drugih povezanih tema u radu. molim te koristi ovu aplikaciju ako se mučiš u određenim oblastima, ova aplikacija je ključna za to. voleo bih da sam ranije napisao recenziju. i takođe je besplatna tako da ne brini zbog toga.

Rohan U

Android korisnik

Znam da mnoge aplikacije koriste lažne naloge za povećanje recenzija ali ova aplikacija zaslužuje sve. Prvobitno sam imao 4 na ispitima iz engleskog a ovaj put sam dobio ocenu 7. Nisam ni znao za ovu aplikaciju tri dana pre ispita i pomogla mi je MNOGO. Molim te stvarno mi veruj i koristi je jer sam siguran da ćeš i ti videti napredak.

Xander S

iOS korisnik

KVIZOVI I KARTICE SU TAKO KORISNI I OBOŽAVAM SCHOOLGPT. TAKOĐE JE BUKVALNO KAO CHATGPT ALI PAMETNIJI!! POMOGAO MI JE I SA PROBLEMIMA MASKARE!! KAO I SA MOJIM PRAVIM PREDMETIMA! NARAVNO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS korisnik

Ova aplikacija je stvarno najbolja. Ponavljanje mi je tako dosadno ali ova aplikacija čini tako lakim da organizuješ sve i onda možeš pitati besplatni AI da te testira tako dobro i lako možeš otpremiti svoje stvari. toplo preporučujem kao neko ko sada polaže probne ispite

Paul T

iOS korisnik

Stefan S

iOS korisnik

Samantha Klich

Android korisnik

Ana

iOS korisnik

Najbolja aplikacija na svetu! nema reči jer je previše dobra

Thomas R

iOS korisnik

Basil

Android korisnik

David K

iOS korisnik

Aplikacija je prosto odlična! Samo treba da ukucam temu u pretragu i odmah dobijem odgovor. Ne moram da gledam 10 YouTube videa da razumem nešto, tako da štedim vreme. Preporučujem!

Sudenaz Ocak

Android korisnik

U školi sam bio stvarno loš iz matematike, ali zahvaljujući ovoj aplikaciji, sada mi bolje ide. Toliko sam zahvalan što ste napravili ovu aplikaciju.

Greenlight Bonnie

Android korisnik

Rohan U

Android korisnik

Xander S

iOS korisnik

Elisha

iOS korisnik

Paul T

iOS korisnik

Predmeti

Matematika

•

423

•

11. дец 2025.

•

4 stranice

Tablični granični odnosi - Objašnjenja i formule

Irina Kopunovic

@irinakopunovic

Granice funkcija mogu da deluju kompleksno, ali zapravo su samo način da opišemo kako se funkcija ponaša kada se približavamo određenoj vrednosti. Ovde ćeš videti ključne formule i primere koji se redovno pojavljuju na ispitima.

Registruj se da vidiš sadržajBesplatno je!

Pristup svim dokumentima

Poboljšaj svoje ocene

Pridruži se milionima učenika

Registracijom prihvataš Uslove korišćenja i Pravila privatnosti

Osnove i važne formule

Da bi rešavaš granice, trebaće ti nekoliko ključnih grupa formula koje stalno koristiš. Algebra ti pomaže sa stepenima - zapamti da je a^m · a^n = a^ $m+n$ i da je a^ $-n$ = 1/a^n.

Tригонометријске формule su takođe važne. Najčešće ćeš koristiti sin 2x = 2 sin x cos x i cos 2x = cos²x - sin²x. Takođe, zapamti da je cos x = 1 - 2 sin² $x/2$ .

Логаритми imaju svoje pravila: ln(a·b) = ln a + ln b, ln $a/b$ = ln a - ln b, i ln a^n = n·ln a. Ključne вредности су ln 1 = 0, ln e = 1, a ln 0 → -∞.

Савет: Ове формуле се понављају у свим задацима, тако да их добро заучи!

Prvi primer показује kako se koriste ove formule u praksi - zamenјuješ cos x sa 1 - 2 sin² $x/2$ i koristiš činjenicu da е^u - 1 ~ u kada u → 0.

Registruj se da vidiš sadržajBesplatno je!

Pristup svim dokumentima

Poboljšaj svoje ocene

Pridruži se milionima učenika

Registracijom prihvataš Uslove korišćenja i Pravila privatnosti

Složeniji primeri sa standardnim tehnikama

Техника је увек иста: замени, факторизуј и искористи табличне границе. На пример, $1 + u$ ^(1/2) - 1 ~ (1/2)u када u → 0.

Упозорење: Пази на знакове! Лако је направити грешку са минусом у знаменику.

Запамти да ln² $1 + sin 2x$ значи $ln(1 + sin 2x)$ ², што утиче на коначни резултат јер делиш са квадратом.

Registruj se da vidiš sadržajBesplatno je!

Pristup svim dokumentima

Poboljšaj svoje ocene

Pridruži se milionima učenika

Registracijom prihvataš Uslove korišćenja i Pravila privatnosti

Границе када x → ∞

Битна напомена: √(x⁶) = |x³|, а када x → ∞, то је просто x³. Ова детаљ може да промени цео резултат!

За арктангенс границе, запамти да је arctg(+∞) = π/2 и arctg(-∞) = -π/2. У примеру 8, x⁵/ $x⁴ + 3$ се своди на x када x → ∞.

Кључ успеха: Увек издвој највишу степен и примени стандардне границе!

За логаритамске изразе као $x-1$ ln $1 + 2/(x+2)$ , сведи на облик где можеш применити ln $1+u$ ~ u.

Registruj se da vidiš sadržajBesplatno je!

Pristup svim dokumentima

Poboljšaj svoje ocene

Pridruži se milionima učenika

Registracijom prihvataš Uslove korišćenja i Pravila privatnosti

Напредне технике разлике корена

Прво издвајаш највише степене: ∛(27x³) = 3x и √(9x²) = 3x за позитивне x. Онда остаје да радиш са малим корекцијама.

Користиш апроксимације: $1+u$ ^(1/3) - 1 ≈ (1/3)u и √ $1+v$ - 1 ≈ (1/2)v за мале u и v.

Профи савет: Кад имаш разлику корена, увек их сведи на $1+нешто_мало$ ^степен - 1!

У финалном кораку, 3x множиш са разликом $1/3 · 4/(27x) - 1/2 · 2/(9x)$ , што даје коначни резултат -5/27.

Запамти: Овакви задаци изгледају страшно, али је процедура увек иста - издвој, апроксимирај, израчунај.

Mislili smo da nikad nećeš pitati...

Šta je Knowunity AI companion?

Gde mogu da preuzmem Knowunity aplikaciju?

Možeš preuzeti aplikaciju sa Google Play Store-a i Apple App Store-a.

Da li je Knowunity stvarno besplatan?

Tako je! Uživaj u besplatnom pristupu sadržaju za učenje, povezuj se sa drugim učenicima i dobijaj trenutnu pomoć – sve na dohvat ruke.

Pametni alati NEW

Pretvori ovu belešku u: ✓ 50+ pitanja za vežbu ✓ Interaktivne kartice ✓ Ceo probni ispit ✓ Osnove za eseje

Probni ispit

Kviz

Kartice

Esej

Najpopularniji sadržaji iz Matematika

Kvadratna jednačina

Naučićemo različite metode za rešavanje kvadratnih jednačina, uključujući formulu, faktorizaciju i dopunu do potpunog kvadrata.

Matematika

2. r. SŠ

Pitagorina teorema

Ponavljanje i dokaz Pitagorine teoreme za pravougli trougao.

Matematika

8. r.

Vijetove formule

Proučićemo veze između koeficijenata i rešenja kvadratne jednačine pomoću Vijetovih formula i primenjivaćemo ih u zadacima.

Matematika

2. r. SŠ

Stepenovanje i korenovanje

Ponavljanje i proširivanje pravila za stepenovanje sa celim i racionalnim izložiocima, kao i rad sa n-tim korenima i racionalizacijom imenioca.

Matematika

1. r. SŠ

Primena Pitagorine teoreme u rombu i trapezu

Primena Pitagorine teoreme za rešavanje problema sa visinama i dijagonalama romba i jednakokrakog trapeza.

Matematika

7. r.

Primena linearnih jednačina

Rešavanje tekstualnih zadataka prevođenjem problema u matematički model linearne jednačine.

Matematika

8. r.

Linearne jednačine sa jednom nepoznatom

Rešavanje linearnih jednačina različitih oblika i analiza broja rešenja (jedinstveno, beskonačno mnogo, nema rešenja).

Matematika

8. r.

Primena Pitagorine teoreme u jednakokrakom i jednakostraničnom trouglu

Izračunavanje visine i stranica u jednakokrakom i jednakostraničnom trouglu pomoću Pitagorine teoreme.

Matematika

7. r.

Primena Pitagorine teoreme u kvadratu i pravougaoniku

Korišćenje Pitagorine teoreme za izračunavanje dijagonala i stranica kvadrata i pravougaonika.

Matematika

7. r.

Najpopularniji sadržaji

Prvi srpski ustanak: uzroci, vođe i značaj

Učenici će naučiti o počecima borbe za oslobođenje, ulozi Karađorđa i značaju Prvog srpskog ustanka.

Istorija

8. r.

Glasovi i glasovne promene

Srpski jezik

6. r.

Prvi srpski ustanak

Učenici će naučiti o uzrocima, toku i značaju Prvog srpskog ustanka, kao i o ulozi Karađorđa Petrovića u borbi za oslobođenje.

Istorija

1. r. SŠ

Drugi srpski ustanak i sticanje autonomije

Proučavaće se Drugi srpski ustanak pod vođstvom Miloša Obrenovića i postepeno sticanje autonomije Srbije unutar Osmanskog carstva.

Istorija

8. r.

Srpske revolucije (Prvi i Drugi srpski ustanak)

Učenje o uzrocima, toku i značaju borbe Srba za oslobođenje od osmanske vlasti.

Istorija

3. r. SŠ

Prošla vremena

Učenici će utvrditi upotrebu Past Simple i Past Continuous vremena, te naučiti Past Perfect Simple za izražavanje radnji koje su se desile pre neke druge radnje u prošlosti.

Engleski

1. r. SŠ

Hormonski (endokrini) sistem

Učenici će se upoznati sa žlezdama sa unutrašnjim lučenjem (npr. štitasta žlezda, pankreas) i ulogom hormona u regulaciji telesnih funkcija.

Biologija

8. r.

Kovalentna veza

Razumećete kako se kovalentna veza formira deljenjem elektrona, razlikujući polarnu i nepolarnu kovalentnu vezu, kao i jednostruke, dvostruke i trostruke veze.

Hemija

1. r. SŠ

Krstaški ratovi

Učimo o vojnim pohodima evropskih hrišćana na Bliski istok i njihovim posledicama.

Istorija

7. r.

Ne možeš da nađeš ono što tražiš? Istražuj druge predmete.

Učenici nas obožavaju — i ti ćeš takođe.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

iOS korisnik

Samantha Klich

Android korisnik

Ana

iOS korisnik

Najbolja aplikacija na svetu! nema reči jer je previše dobra

Thomas R

iOS korisnik

Basil

Android korisnik

David K

iOS korisnik

Aplikacija je prosto odlična! Samo treba da ukucam temu u pretragu i odmah dobijem odgovor. Ne moram da gledam 10 YouTube videa da razumem nešto, tako da štedim vreme. Preporučujem!

Sudenaz Ocak

Android korisnik

U školi sam bio stvarno loš iz matematike, ali zahvaljujući ovoj aplikaciji, sada mi bolje ide. Toliko sam zahvalan što ste napravili ovu aplikaciju.

Greenlight Bonnie

Android korisnik

Rohan U

Android korisnik

Xander S

iOS korisnik

Elisha

iOS korisnik

Paul T

iOS korisnik

Stefan S

iOS korisnik

Samantha Klich

Android korisnik

Ana

iOS korisnik

Najbolja aplikacija na svetu! nema reči jer je previše dobra

Thomas R

iOS korisnik

Basil

Android korisnik

David K

iOS korisnik

Aplikacija je prosto odlična! Samo treba da ukucam temu u pretragu i odmah dobijem odgovor. Ne moram da gledam 10 YouTube videa da razumem nešto, tako da štedim vreme. Preporučujem!

Sudenaz Ocak

Android korisnik

U školi sam bio stvarno loš iz matematike, ali zahvaljujući ovoj aplikaciji, sada mi bolje ide. Toliko sam zahvalan što ste napravili ovu aplikaciju.

Greenlight Bonnie

Android korisnik

Rohan U

Android korisnik

Xander S

iOS korisnik

Elisha

iOS korisnik

Paul T

iOS korisnik